Johannes Matematiska Äventyr

Elementa, Bok I, Sats 4

Johannes Rehnström — Fri, 02 May 2008 03:44:30 +0000

Om två trianglar har två sidor lika med respektive två sidor, och har vinklarna mellan de lika räta linjerna lika, så är också basen lika med basen, triangeln lika med triangeln, och de återstående vinklarna är lika med respektive återstående vinkel, nämligen de som står mot de lika sidorna.

Låt ABC, DEF vara två trianglar med sidorna AB, AC lika med de respektive två sidorna DE, DF, dvs AB med DE och AC med DF, och vinkeln BAC lika med vinkeln EDF.

Jag hävdar att basen BC också är lika med basen EF, triangeln ABC är lika med triangeln DEF, och de återstående vinklarna är lika med respektive återstående vinkel, nämligen de som står mot de lika sidorna, dvs vinkeln ABC med vinkeln DEF och vinkeln ACB med vinkeln DFE.
För om triangeln ABC tillämpas på DEF, och punkten A placeras på punkten D och den räta linjen AB på DE, så sammanfaller B med E, för AB är lika med DE.
Och när AB sammanfaller med DE så sammanfaller också den räta linjen AC med DF, för vinkeln BAC är lika med EDF; alltså sammanfaller punkten C med punkten F, för AC är lika med DF.
Men B sammanfaller också med E; alltså sammanfaller basen BC med basen EF, och de är lika med varandra.	[Ax. 4]
Således sammanfaller hela triangeln ABC med hela triangeln DEF, och de är lika med varandra.
Och de återstående vinklarna är sammanfaller också med de återstående vinklarna och de är lika med varandra, vinkeln ABC med vinkeln DEF, och vinkeln ACB med vinkeln DFE.
Vilket skulle visas.

Elementa, Bok I, Sats 3

Johannes Rehnström — Tue, 26 Feb 2008 03:26:51 +0000

*Givet två olika räta linjer, att från den större skära av en rät linje lika med den mindre.*

Låt AB, C vara de två givna olika räta linjerna, och låt AB vara den större av dem.
Det är då nödvändigt att från den större AB skära av en rät linje lika med den mindre C.
Låt placera AD lika med den räta linjen C vid A.	[I. 2]
Och låt cirkeln DEF beskrivas med centrum A och avstånd AD.

Eftersom A är centrum i cirkeln DEF är AE lika med AD.	[Def. 15]
Men C är också lika med AD.
Alltså är båda de räta linjerna AE, C lika med AD; Så AE är också lika med C.	[Ax. 1]
Således, givet de två räta linjerna AB, C, har den räta linjen AE lika med C den mindre skurits av från AB den större.
Vilket skulle göras.

Elementa, Bok I, Sats 2

Johannes Rehnström — Fri, 22 Feb 2008 13:13:49 +0000

*Att vid en given punkt (som yttersta gräns) placera en rät linje lika med en given rät linje.*

Låt den givna punkten vara A, och den givna linjen BC.
Då är det nödvändigt att vid punkten A (som yttersta gräns) placera en rät linje lika med den givna räta linjen BC.
Låt den räta linjen AB slutas mellan punkterna A, B;	[Post. 1]
Och låt den liksidiga triangeln DAB konstrueras på den.	[I, 1]
Låt de räta linjerna AE, BF förlängas i rät linje med DA, DB.	[Post. 2]
Låt cirkeln CGH beskrivas med centrum B och avstånd BC;
Och låt cirkeln GKL beskrivas med centrum D och avstånd DG.

Eftersom punkten B är centrum i cirkeln CGH är BC lika med BG.
Och eftersom punkten D är centrum i cirkeln GKL är DL lika med DG.
Och i dessa är DA lika med DB; alltså är återstoden AL lika med återstoden BG.	[Ax. 3]
Men BC bevisades också vara lika med BG; alltså är de båda räta linjerna AL, BC lika med BG.
Och saker som är lika med samma sak, är lika med varandra; alltså är AL lika med BC.	[Ax. 1]
Således har den räta linjen AL, lika med den givna räta linjen BC, placerats vid den givna punkten A (som yttersta gräns.)
Vilket skulle göras.

Elementa, Bok I, Sats 1

Johannes Rehnström — Fri, 22 Feb 2008 10:09:30 +0000

*Givet en ändlig rät linje, att på den konstruera en liksidig triangel.*

Låt den givna ändliga räta linjen vara AB.
Då är det nödvändigt att konstruera en liksidig triangel på den räta linjen AB.
Beskriv cirkeln BCD med centrum A och avstånd AB;	[Post. 3]
Och beskriv cirkeln ACE med centrum B och avstånd BA;	[Post. 3]
Och låt de räta linjerna CA, CB slutas, från punkten C där cirklarna skär varandra, till punkterna A, B.	[Post. 1]

Eftersom A är centrum i cirkeln CDB så är AC lika med AB.	[Def. 15]
Och eftersom B är centrum i cirkeln CAE så är CB lika med BA.	[Def. 15]
Men CA bevisades också vara lika med AB;
Alltså är båda de räta linjerna CA, CB lika med AB.
Och saker som är lika med samma sak, är lika med varandra;	[Ax. 1]
Alltså är CA lika med CB.
Alltså är de tre räta linjerna CA, AB, BC lika med varandra.
Alltså är triangeln ABC liksidig;
Och den har konstruerats på den ändliga räta linjen AB;
Vilket skulle göras.

Elementa, Bok I, Postulat och Axiom

Johannes Rehnström — Thu, 21 Feb 2008 02:48:33 +0000

Postulat:
Låt postulera följande:
1. Att skriva en rät linje från varje punkt till varje punkt.
2. Att förlänga en rät linje kontinuerligt i rät linje.
3. Att beskriva en cirkel med varje centrum och avstånd.
4. Att alla räta vinklar är lika med varandra.
5. Att om en rät linje som faller på två räta linjer gör de inre vinklarna på samma sida mindre än två räta vinklar, möts de två linjerna på den sida där vinklarna är mindra än två räta vinklar, om linjerna förlängs obegränsat.

Axiom:
1. Saker som är lika med samma sak, är lika med varandra.
2. Om lika saker läggs till lika saker, är helheterna lika.
3. Om lika saker dras ifrån lika saker, är återstoderna lika.
4. Saker som sammanfaller med varandra är lika.
5. Helheten är större än delen.

Elementa, Bok I, Definitioner

Johannes Rehnström — Thu, 21 Feb 2008 02:21:33 +0000

1. En punkt är det som saknar del.
2. En linje är en längd utan bredd.
3. En linjes yttersta delar är punkter.
4. En rät linje är en linje som jämn med alla punkter på sig själv.
5. En yta är det som endast har längd och bredd.
6. En ytas yttersta delar är linjer.
7. En plan yta är en yta som är jämn med alla räta linjer på sig själv.
8. En plan vinkel är avvikelsen mellan två linjer i ett plan, som möter varandra, och som inte ligger i en rät linje.
9. Och när linjerna som rymmer vinkeln är räta kallas vinkeln rätlinjig.
10. När en rät linje som fälls mot en rät linje gör de närliggande vinklarna lika med varandra så är vardera vinkel en rät vinkel, och linjen som står mot den andra kallas normal till linjen den står mot.
11. En trubbig vinkel är en vinkel som är större än en rät vinkel.
12. En spetsig vinkel är en vinkel som är mindre än en rät vinkel.
13. En begränsning är det som är någontings yttersta del.
14. En figur är det som innesluts av en eller flera begränsningar.
15. En cirkel är en plan figur som innesluts av en linje som sådan att alla räta linjer som faller på den från en punkt bland de i figuren är lika med varandra.
16. Och punkten kallas cirkelns centrum.
17. En diameter till cirkeln är en rät linje skriven genom cirkelns centrum och som slutar i de punkter där den möter cirkelns omkrets.
18. En halvcirkel är den figur som innesluts av diametern och den omkrets som den skär av, och halvcirkelns centrum är samma som cirkelns.
19. Rätlinjiga figurer är de som innesluts av räta linjer, tresidiga figurer är de som innesluts av tre, fyrsidiga de som innesluts av fyra, och flersidiga de som innesluts av fler än fyra räta linjer.
20. Bland tresidiga figurer är en liksidig triangel det som har tre sidor lika med varandra, en likbent triangel det som har endast två sidor lika med varandra, och en oliksidig triangel det vars alla sidor är olika varandra.
21. Vidare, bland tresidiga figurer är en rätvinklig triangel det som har en rät vinkel, en trubbvinklig triangel det som har en trubbig vinkel, och en spetsvinklig triangel det vars alla tre vinklar är spetsiga.
22. Bland fyrsidiga figurer är en kvadrat det som är både liksidigt och rätvinkligt, en rektangel det som är rätvinkligt men inte liksidigt, en romb det som är liksidigt men inte rätvinkligt, och en romboid det vars motstående sidor och vinklar är lika med varandra, men som varken är liksidigt eller rätvinkligt. Kalla alla fyrsidiga figurer utöver dessa för trapetser.
23. Parallella räta linjer är räta linjer som liggande i samma plan och obegränsat förlängda i båda riktningar inte möter varandra i någon riktning.

Introduktion

Johannes Rehnström — Wed, 20 Feb 2008 07:21:57 +0000

Hej kära läsare. Detta är mitt första inlägg i min första blogg, och jag tänker ägna det åt en väldigt kort personlig introduktion, och en beskrivning av bloggens syfte.

Mitt namn är Johannes Rehnström, jag är 21 år ung, och väldigt fascinerad av matematik.

När jag läste Euklides The Elements för ungefär två år sedan fick jag en helt ny syn på vad matematik är, till skillnad från vad jag lärt mig i grund- och gymnasieskolan. Det gjorde mig intresserad av att söka en högre utbildning inom matematik, för jag förstod att det är så mycket mer än att memorera massa formler. Det är visserligen inget fel i att kunna tillämpa formler, men det är heller inte världens mest stimulerande sysselsättning i min åsikt.

Jag har i några månader funderat på att börja översätta verket till svenska, dels för att jag tror att det kommer ge mig mer förståelse, dels för att göra den tillgänglig för alla svenskar som är intresserade men inte klarar att läsa den på engelska – Jag blev själv väldigt besviken när jag skulle köpa den och inte hittade någon svensk översättning i tryck. Anledningen till att jag vill använda just detta format för att publicera min översättning är att det ger alla läsare en chans att ställa frågor, be om förtydliganden och rätta mig. För ärligt talat är mina kunskaper både i engelska, svenska och matematik otillräckliga för att göra en väldigt bra översättning på egen hand.

Verket har tretton volymer och mitt mål är till att börja med att översätta den första, som innehåller definitioner, axiom, och 47 satser (varav den 47:e är den berömda Pythagoras Sats.) Jag utgår ifrån Sir Thomas L. Heath’s engelska översättning, andra utgåvan, 1956.

Jag kommer också publicera kluriga matematiska och logiska problem med (förhoppningsvis) utförliga lösningar och förklaringar.

Det är vad jag har att säga vid denna bloggs födsel. Han nu en riktigt intressant dag!